关于三次数学危机的概述与思考

想必喜欢数学的朋友对历史上曾爆发的三次数学危机非常的熟悉,但可能还有很多人不了解这些历史,我在这里对这三次数学危机作个简单的介绍并谈下自己的一些想法。

第一次数学危机引发的血案

大家都知道,在古希腊曾经出现过一个著名的学派——毕达哥拉斯学派,这个学派宣扬“万物皆数”的思想,并吸引了大量的信徒。就在这个学派发展的鼎盛时期,一群兴致勃勃的年轻学员在一片波光粼粼的湖水中一边划船,一边探讨着各种数学问题。就在这时,一个学员突然提出一个问题:“一个腰长等于1的等腰直角三角形的斜边长度到底是多少?”如果用毕达哥拉斯定理(即勾股定理)推算的话,它的平方应该等于2,但这个年轻的学员很快证明这个平方为2的数既不是整数也不是分数。这引起了一片怪异的慌乱,因为毕达哥拉斯曾经指出,数只有整数和分数两种,这两种数可以表达万物,而这时学员们发现整数和分数居然不能表示区区一个等腰直角三角形的斜边长度,这和万物皆数的思想发生了巨大的冲突。就在这慌乱的时刻,一个学员突然大叫道:“把他扔进河里,他居然亵渎数的神圣!”于是,一群狂热的年轻人就这样断送了另一个年轻人的生命。直到无理数的定义才使得第一次数学危机得到圆满解决。

量的鬼魂?

第二次数学危机发生在微积分刚诞生时。牛顿在解决瞬时速度时引入了一个绝妙的△t,假设位移关于时间的函数为F(t),则在t0到t0+△t这段时间内物体的平均速度为[F(t0+△t)-F(t0)]/ △t,然后假设△t无穷小,就可以将分母上的△t的高次项忽略,这样再让分母的△t与分子的△t约去就求得了t0时的瞬时速度。虽然牛顿的方法在当时被无数的事实证明是实用的,但当时的主观唯心主义批判家贝克莱主教偏偏跟牛顿过不去。他质问牛顿:“你假设的那个无穷小量△t到底是不是0?如果它是0,那么就不能随随便便把分母约去,如果它不是0,就不能随随便便忽略△t的高次项。它既是0又不是0,那它只能叫量的鬼魂了,你们搞科学的都承认鬼魂的存在,有何理由不相信上帝呢?”在这番话面前,牛顿无言以对,直到后来极限的严格定义才成功平息了第二次数学危机,那△t确实不能算0,它是一个趋向于0的过程。

理发师的烦恼

第三次数学危机的引发者是一个叫罗素的天才,他是二十世纪最具影响力的数学家和哲学家之一。他提出了一个著名的悖论——罗素悖论。这个悖论的提出动摇了整个数学大厦,动摇了曾被认为是数学基础的集合论的地位。这个悖论的数学表达不容易理解,但有许多对于这个悖论的通俗解释,其中最有名的就是“理发师悖论”了。一个理发师,他对自己做出这样的规定:只给不给自己理发的人理发。那么他给不给自己理发呢?如果他给自己理发,那么他就是给自己理发的人,按照规定他就不能给自己理发。如果他不给自己理发,那他就是不给自己理发的人,按照规定他又可以给自己理发。后来,经过仔细的研究,哥德尔提出了“歌德尔不完备性定理”,该定理是说,在有限命题所组成的逻辑系统中总存在一些虽然正确但无法被证明的命题,而这些命题需要放入更高一层的逻辑系统中去证明。就此,第三次数学危机圆满解决。

探索永无止境

虽然每次数学危机都给人们带来不小的慌乱,但每经过一次危机的洗礼,人类的认知水平都会取得一次质的飞跃。因此,我们还是会期待下一次数学危机的到来。从这三次数学危机可以看出,人类的认知水平还处于非常原始的阶段,有无限发展的空间。霍金一生都力图找出一个解释宇宙中所有现象的终极理论,但在他领会了歌德尔不完备性定理后毅然放弃了这种理论的研究,歌德尔不完备性定理给我们一个启示:宇宙的规律是不能穷尽的,只能不懈的追求下去,事物是不断变化和发展的,探索永无止境!

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